Sinus teorem. Lösa trianglar

Studien av trianglar lyfter ofrivilligt fråganpå beräkningen av förhållandet mellan deras sidor och vinklar. I geometri ger cosinus och sinus teorem det mest kompletta svaret för att lösa detta problem. Överflödet av olika matematiska uttryck och formler, lagar, satser och regler är sådana att olika extraordinära harmoni, koncis och lätt att mata en fånge i dem. Sinnesatsen är ett levande exempel på en sådan matematisk formulering. Om det i det muntliga tolkandet också finns ett visst hinder för att förstå denna matematiska regel, då när man tittar på den matematiska formeln faller allt omedelbart på plats.

Den första informationen om denna teori hittades i form av sitt bevis inom ramen för det matematiska arbetet i Nasir ad-Din Al-Tusi, daterat från det trettonde århundradet.

Närma sig närmare förhållandetsidor och vinklar i vilken triangel som helst, är det värt att notera att sinusets stämning gör det möjligt att lösa många matematiska problem, medan denna geometriska lag finner sin tillämpning i olika typer av praktisk mänsklig aktivitet.

Sineansatsen själv säger det för någonTriangeln kännetecknas av sidornas proportionalitet i motsatta vinklar. Det finns också en andra del av denna sats, enligt vilka förhållandet mellan varje sida av triangeln motsatt den sinus för vinkeln är lika med diametern av circumcircle av triangeln under övervägande.

I form av en formel ser detta uttryck ut

a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R

Har en stämning av sinusbevis, som i olika versioner av läroböcker erbjuds i en mängd olika versioner.

Tänk på ett av de bevis som förklarar den första delen av stolen. För detta, låt oss sätta upp målet att bevisa uttrycksgiltigheten en sinc = c Sina.

I en godtycklig triangel ABC konstruerar vi höjdenBH. I en av varianterna av konstruktionen ligger H på segmentet AC och i den andra utsidan av det, beroende på vinklarna vid trianglarna. I det första fallet kan höjden uttryckas med avseende på vinkeln och sidorna på triangeln, som BH = en sinC och BH = c sinA, vilket är det nödvändiga beviset.

I det fall där punkten H ligger utanför gränserna för segmentet AC, kan vi få följande lösningar:

BH = en sinC och BH = c sin (180-A) = c sinA;

eller BH = en synd (180-C) = en sinC och BH = c sinA.

Som vi ser, oberoende av byggnadsalternativen, kommer vi till önskat resultat.

Beviset för den andra delen av stolen kräver detVi beskriver en cirkel runt triangeln. Genom en av trianglarnas höjder, till exempel B, konstruerar vi cirkelns diameter. Hämta en punkt på cirkeln D med en av höjden på triangeln, låt den vara punkt A i triangeln.

Om vi ​​betraktar de resulterande trianglarna ABD ochABC, då kan du se jämnheten av vinklarna C och D (de är baserade på en båge). Och med tanke på att vinkeln A är nittio grader då synd D = c / 2R eller sin C = c / 2R, vilket skulle bevisas.

Sinesatsen är utgångspunkten förlösa ett brett utbud av olika uppgifter. En speciell attraktion är dess praktiska tillämpning, som en naturlig följd av sats kan vi relatera värdet av de triangelsidorna, motstående vinklar och radien (diameter) hos en cirkel omskriven runt triangeln. Enkelheten och tillgängligheten av formel beskriver denna matematiska uttryck, får i stor utsträckning använda denna sats för att lösa problemen med hjälp av olika mekaniska anordningar uppräkneliga (räknestickor, tabeller och så vidare.), Men även ankomsten av serviceperson kraftfull datorenheter är inte sänkt betydelsen av denna sats.

Denna stämning ingår inte bara i grundskolans geometri, men tillämpas vidare i vissa grenar av praktisk verksamhet.