Hur beräknas pyramidens volym?
Ordet "pyramid" är ofrivilligt förknippad med de majestätiska jättarna i Egypten, som trogen håller freden av faraonerna. Kanske är det därför pyramiden som en geometrisk figur erkänns omedvetet av alla, till och med barn.
Låt oss ändå försöka ge det en geometriskdefinition. Vi representerar flera punkter (A1, A2, ..., An) på planet och en (E) som inte hör till den. Så om punkten E (vertex) är kopplad till polygonens hörn som bildas av punkterna A1, A2, ..., An (bas), erhåller vi en polyhedron, som kallas en pyramid. Det är uppenbart att polygonens hörn i pyramidens bas kan vara så många som du vill, och beroende på deras antal kan pyramiden kallas triangulär och fyrkantig, femkantig etc.
Om du tittar noga på pyramiden, dåblir det tydligt varför det bestäms också på ett annat sätt - som en geometrisk form med basen polygonen samt sidoytorna - trianglar förenade gemensamma vertex.
Eftersom pyramiden är en rumslig figur,och den har en sådan kvantitativ egenskap som volym. Pyramidens volym beräknas enligt den välkända volymformeln som motsvarar en tredjedel av produkten av pyramidens bas vid dess höjd:
Pyramidens volym för att härleda formeln initialtberäknas för en triangulär, med utgångspunkt i ett konstant förhållande som förbinder denna kvantitet med volymen av ett triangulärt prisma med samma bas och höjd, vilket, som det visar sig, är tre gånger så stor volym.
Och eftersom någon pyramid är uppdelad i trekantig, och dess volym inte är beroende av konstruktionerna som utförts i beviset, är giltigheten av den reducerade volymen formel uppenbar.
Bortsett från alla pyramider finns det vanliga, som har en regelbunden polygon vid basen. När det gäller pyramidens höjd måste den "sluta" i mitten av basen.
I fallet med en oregelbunden polygon vid basen krävs beräkning av basområdet:
- bryta den in i trianglar och kvadrater;
- att beräkna arean av var och en av dem;
- lägg till data.
I fallet med en regelbunden polygon vid basen av pyramiden, är dess area beräknas från uppsättningen formeln, så volymen av en regelbunden pyramid beräknas mycket enkelt.
Till exempel, för att beräkna volymen på en fyrkantpyramid, om den är korrekt, upprätt längden på den sida högra fyrhörning (kvadrat) i botten av kvadraten, och genom att multiplicera höjden av pyramiden är uppdelad i tre produkt som erhålls.
Pyramidens volym kan beräknas med andra parametrar:
- som en tredjedel av produkten av bollens radie inskrivna i pyramiden, arean av dess fulla yta;
- som två tredjedelar av produkten av avståndet mellan två godtyckliga korsade revben och området av parallellogrammet som bildar mitten av de återstående fyra kanterna.
Volymen av pyramiden beräknas endast i det fallet när dess höjd är densamma som en av sidokanterna, dvs i fallet med en rektangulär pyramid.
Talar om pyramider kan man inte ignorerastympade pyramider, erhållna genom sektion av pyramiden parallell med basplanet. Deras volym är nästan lika med skillnaden i volymerna för hela pyramiden och den avskurna vertexen.
Den första volymen av pyramiden, men inte helt i sinDemocritus fann modern form, dock lika med 1/3 av volymen av det kända prisma. Hans sätt att räkna Archimedes kallade "utan bevis", sedan Democritus närmade sig pyramiden, som en figur bestående av oändligt tunna liknande plattor.
På frågan om att hitta volymen av pyramiden "vände"och vektoralgebra, med hjälp av detta koordinater av dess hörn. Pyramiden, konstruerad på trippeln av vektorerna a, b, c, är en sjätte av modulen av den blandade produkten av givna vektorer.
