Ojämlikhetssystemet är en lösning. System av linjära ojämlikheter

Ojämlikhet och ojämlikhet är en av deden som äger rum i gymnasiet i algebra. På nivå av komplexitet är det inte det svåraste, eftersom det har enkla regler (om dem lite senare). Som regel kan eleverna enkelt lösa systemet med ojämlikheter. Detta beror också på det faktum att lärare helt enkelt "tränar" sina elever om detta ämne. Och de kan inte göra det, eftersom det studeras i framtiden med hjälp av andra matematiska kvantiteter, och kontrolleras även för OGE och USE. I skolböcker beskrivs emnet ojämlikhet och ojämlikhet i stor detalj, så om du ska studera det är det bäst att tillgripa dem. Denna artikel återberäknar bara de stora materialen, och i det kan det finnas några försummelser.

Begreppet ett system av ojämlikhet

Om du vänder dig till det vetenskapliga språket kan du gedefinition av begreppet "system för ojämlikhet". Detta är en matematisk modell som representerar flera ojämlikheter. Från denna modell, naturligtvis, behöver den en lösning, och dess förmåga att fungera som en gemensam svar för alla orättvisor i systemet som föreslås i jobbet (oftast i den och skriva, till exempel: "Lös systemet med ojämlikhet 4 x + 1> 2 och 30 - X > 6 ... "). Men innan vi går vidare till lösningsmetoderna och metoderna måste vi räkna ut något.

Systemen av ojämlikheter och systemet för ekvationer

I arbetet med att studera ett nytt ämne oftaDet finns missförstånd. Å ena sidan är allt klart och vill hellre börja lösa uppgiften, och å andra sidan - vissa stunder kvar i "skuggan", inte riktigt väl begripliga. Dessutom kan vissa delar av den kunskap som redan förvärvats vara sammanflätade med nya. Som ett resultat av detta "överlappande" inträffar ofta misstag.

Därför, innan vi börjar vår analys av vårtämne, bör du komma ihåg om skillnaderna mellan ekvationer och ojämlikheter, deras system. För att göra detta måste vi förklara än en gång vad matematiska begrepp är. Ekvationen är alltid jämlikhet, och det är alltid något lika (i matematiken är detta ord betecknat med tecknet "="). Ojämlikhet är en modell där en kvantitet eller mer, eller mindre än en annan, eller innehåller uttalandet att de inte är desamma. Således är det i det första fallet är lämpligt att tala om jämställdhet, och i den andra, som om det kan låta självklart från namnet, ojämlikhet i originaldata. Systemen för ekvationer och ojämlikheter skiljer sig praktiskt taget inte från varandra och metoderna för att lösa dem är desamma. Den enda skillnaden är att i det första fallet använder vi jämställdhet, medan den andra ojämlikheten används.

Typer av ojämlikheter

Det finns två typer av ojämlikheter: numerisk och med okänd variabel. Den första typen representerar de angivna värdena (siffror) som är ojämlika till varandra, till exempel 8> 10. Den andra är ojämlikheter som innehåller en okänd variabel (betecknad med ett bokstav i det latinska alfabetet, oftast X). Denna variabel kräver sin plats. Beroende på hur många som finns finns det i den matematiska modellen ojämlikheter med ett (utgör ett system med ojämlikheter med en variabel) eller flera variabler (utgör ett system med ojämlikheter med flera variabler).

De två sista arterna i enlighet med graden av deras konstruktion ochBeslutets komplexitet är uppdelad i enkel och komplex. Enkla kallas också linjära ojämlikheter. De är i sin tur uppdelade i stränga och icke-stränga. Strikt specifikt "säg" att ett värde måste vara antingen mindre eller mer, så det här är ren ojämlikhet. Det finns flera exempel: 8 x + 9> 2, 100 - 3 x> 5 osv. Icke-stränga inkluderar också jämlikhet. Det vill säga ett värde kan vara större än eller lika med ett annat värde (tecken "≥") eller mindre eller lika med ett annat värde (tecken "≤"). Även i linjära ojämlikheter är variabeln inte i roten, i torget är den inte uppdelad i något, på grund av vad de kallas "enkel". Komplexa innehåller okända variabler, vars resultat kräver mer matematisk verksamhet. De befinner sig ofta i en kvadrat, kub eller under roten kan vara modulärt, logga, fraktionerad, etc. Men eftersom vår uppgift är att förstå behovet av att lösa system av ojämlikhet, vi talar om systemet med linjära olikheter. Men innan det skulle några ord sägas om deras egenskaper.

Ojämlikhetsegenskaper

Egenskaperna av ojämlikheter inkluderar följande:

1. Ojämlikhetsskylten är omvänd om en operation används för att ändra parternas sekvens (till exempel om t₁ ≤ t₂då t₂ ≥ t₁).
2. Båda delarna av ojämlikheten tillåter att man lägger till samma tal för sig själv (till exempel om t₁ ≤ t₂då t₁ + tal ≤ t₂ + nummer).
3. Två eller flera ojämlikheter med tecknet av samma riktning, låter dig lägga till sina vänstra och högra delar (till exempel om t₁ ≥ t₂, t₃ ≥ t₄då t₁ + t₃ ≥ t₂ + t₄).
4. Båda delarna av ojämlikheten tillåter dig att multiplicera eller dela med samma positiva nummer (till exempel om t₁ ≤ t₂ och numret ≤ 0, då talet · t₁ ≥ antal · t₂).
5. Två eller flera ojämlikheter med positiva termer och ett tecken på en riktning gör det möjligt att multiplicera varandra (till exempel om t₁ ≤ t₂, t₃ ≤ t₄, t₁, t₂, t₃, t₄ ≥ 0 då t₁ · T₃ ≤ t₂ · T₄).
6. Båda delarna av ojämlikheten tillåts multipliceras eller divideras med samma negativa tal, men ojämlikheten ändras (till exempel om t₁ ≤ t₂ och numret ≤ 0, då talet · t₁ ≥ antal · t₂).
7. Alla ojämlikheter har egenskapen för transitivitet (till exempel om t₁ ≤ t₂ och t₂ ≤ t₃då t₁ ≤ t₃).

Nu, efter att ha studerat grundprinciperna i teorin om ojämlikhet, kan vi gå direkt till övervägande av reglerna för att lösa sina system.

Lösa ojämlikhetssystem. Allmän information. sätt att lösa

Som nämnts ovan är beslutetvariabla värden som passar alla ojämlikheter i ett givet system. Lösningen av ojämlikhetssystem är genomförandet av matematiska operationer som i slutändan leder till att hela systemet löses eller bevisar att det inte har några lösningar. I det här fallet sägs att variabeln avser en tom numerisk uppsättning (skrivet som: variabel bokstav ∈ (tecken "hörs") ø (tecken "tomtset "), till exempel x ∈ ø (läser så:" Variabel "X tillhör den tomma uppsättningen"). Det finns flera sätt att lösa ojämlikhetssystem: grafisk, algebraisk, substitution. Det är värt att notera att de avser de matematiska modellerna som har flera okända variabler. Om det bara finns en, gör intervallmetoden.

Grafiskt sätt

Låter att lösa ett system av ojämlikheter med fleraokända värden (från två och över). Tack vare denna metod löses systemet med linjära ojämnheter ganska enkelt och snabbt, så det är den vanligaste metoden. Detta beror på det faktum att plottning minskar mängden skrivande matematiska operationer. Speciellt blir det trevligt att komma undan från pennan lite, hämta en penna med en linjal och starta ytterligare åtgärder med hjälp, när mycket arbete har gjorts och du vill ha en liten variation. Men vissa människor ogillar denna metod på grund av att de måste bryta sig bort från uppgiften och byta sin mentala aktivitet till ritning. Detta är dock ett mycket effektivt sätt.

Att uppfylla lösningen av ojämlikhetssystemet medMed hjälp av den grafiska metoden är det nödvändigt att överföra alla medlemmar av varje ojämlikhet till sin vänstra sida. Tecknen kommer att vändas, rätten ska skrivas ner noll, då måste du skriva ned varje ojämlikhet separat. Som ett resultat resulterar ojämlikheterna i funktioner. Därefter kan du få en penna och en linjal: nu måste du rita en graf för varje uppnådd funktion. Hela uppsättningen av tal, som kommer att ligga i intervallet för deras korsning, kommer att vara en lösning på systemet med ojämlikheter.

Algebraisk metod

Låter lösa ett system av ojämlikheter med tvåokända variabler. Ojämlikheter måste också ha samma ojämlikhetsskylt (dvs. de måste innehålla antingen bara "mer" tecknet eller endast "mindre" tecken etc.) Trots dess begränsningar är denna metod också mer komplex. Den appliceras i två steg.

Den första innehåller åtgärden att bli av meden av de okända variablerna. Först måste du markera det och kontrollera sedan förekomsten av siffror framför den här variabeln. Om de inte är (då kommer variabeln att se ut som en bokstav), då ändrar vi inte något, om det finns (typen av variabeln är till exempel 5y eller 12y), så är det nödvändigt att se till att i varje ojämlikhet är numret före den valda variabeln detsamma. För att göra detta, multiplicera varje medlem av ojämlikhet med en gemensam faktor, till exempel om 3y är skrivet i den första ojämlikheten och 5y i den andra, multipliceras alla medlemmar av den första ojämlikheten med 5 och den andra med 3. Den kommer att visa sig 15 respektive 15 år.

Det andra steget i beslutet. Det är nödvändigt att överföra den vänstra delen av varje ojämlikhet till sina högra delar med en ändring i tecknet för varje medlem till motsatt, för att skriva ner till höger. Då kommer den mest intressanta saken: att bli av med den valda variabeln (annars kallas detta "reduktion") under vikning av ojämlikheter. Resultatet är en ojämlikhet med en variabel som behöver lösas. Efter detta borde du göra samma sak, bara med en annan okänd variabel. Resultaten blir lösningen av systemet.

Substitutionsmetod

Låter dig lösa ett system av ojämlikheter i närvaroförmågan att introducera en ny variabel. Vanligtvis används denna metod när en okänd variabel i en medlem av ojämlikheten höjs till fjärde kraften och i den andra medlemmen har en fyrkant. Således syftar denna metod till att minska graden av ojämlikhet i systemet. Prov x Ojämlikhet⁴ - x² - 1 ≤ 0 på detta sätt löses enligt följande. En ny variabel introduceras t ex. De skriver: "Låt t = x²", då är modellen omskriven i en ny form. I vårt fall får vi t² - t - 1 ≤0. Denna ojämlikhet måste lösas med intervallmetoden (ungefär lite senare), sedan tillbaka till variabeln X, gör sedan samma sak med en annan ojämlikhet. De mottagna svaren kommer att vara lösningen av systemet.

Avståndsmetod

Detta är det enklaste sättet att lösa system.ojämlikhet, och samtidigt är det universellt och vanligt. Den används i gymnasiet, och även i högre grad. Dess väsen ligger i att studenten letar efter ojämlikhetsklyftor på tallinjen, som ritas i en anteckningsbok (det här är inte en graf, men bara en vanlig rak linje med siffror). Där luckorna av ojämlikhet skärs, hittas lösningen av systemet. För att använda intervallmetoden måste du utföra följande steg:

1. Alla medlemmar av varje ojämlikhet överförs till vänster med ett teckenbyte motsatt (noll är skrivet till höger).
2. Ojämlikheter skrivs ut separat, beslutet av var och en bestäms.
3. Det finns korsningar av ojämlikheter på nummerlinjen. Alla nummer vid dessa korsningar kommer att vara lösningen.

Vad är sättet att använda?

Självklart den som verkar lättast ochPraktiskt, men det finns fall där uppgifter kräver en viss metod. Oftast säger de att det är nödvändigt att lösa antingen med hjälp av ett diagram eller med intervallmetoden. Den algebraiska metoden och substitutionen används extremt sällan eller inte alls, eftersom de är ganska komplexa och förvirrande, och dessutom är de mer vana vid att lösa system av ekvationer snarare än ojämlikheter, så du borde tillgripa ritdiagram och intervaller. De ger synlighet, vilket inte bara kan bidra till ett effektivt och snabbt genomförande av matematiska operationer.

Om något inte fungerar

Medan du studerar ett ämne på algebra,Naturligtvis kan det finnas problem med hennes förståelse. Och det är OK, eftersom vår hjärna är konstruerad så att den inte kan förstå det komplexa materialet åt gången. Ofta behöver åter läsa stycket, ta hjälp av en lärare eller arbetsmetoder för att hantera vanliga uppgifter. I vårt fall, de ser ut så här: "Lös systemet med ojämlikhet 3 x + 1 ≥ 0 och 2 x - 1> 3". Sålunda, personlig aspiration, hjälp från outsidare och öva med hjälp av att förstå något komplext ämne.

Reshebnik?

Och en mycket bra Reshebnik, men inteför fusk hemläxa och för självhjälp. I dem kan du hitta ett system av ojämlikhet med lösningen, titta på dem (som mönster), försök att förstå exakt hur författaren till lösningen klarade uppgiften och försök att åstadkomma detta i en oberoende ordning.

rön

Algebra är en av de svåraste ämnena iskolan. Tja vad kan du göra? Matematiken har alltid varit så här: den ges till någon lätt, men till någon med svårighet. Men i vilket fall som helst bör det komma ihåg att det allmänna utbildningsprogrammet är utformat så att alla studenter kan klara det. Dessutom måste vi komma ihåg ett stort antal assistenter. Några av dem har nämnts ovan.